3徳島大学 2012年 数学 第3問解答・解説

点P,Qの位置ベクトルをそれぞれ $\mathbf p=(x_1,y_1),\ \mathbf q=(x_2,y_2)$ とする。条件より $A\mathbf p=-2\mathbf q,\ A^2\mathbf q=4\mathbf p$ である。

(1) 線形性から $$A^3\mathbf p=A^2(A\mathbf p)=A^2(-2\mathbf q)=-2(4\mathbf p)=-8\mathbf p, \qquad A^3\mathbf q=A(A^2\mathbf q)=A(4\mathbf p)=4(-2\mathbf q)=-8\mathbf q.$$ よって、求める移り先はそれぞれ $(-8x_1,-8y_1)$、$(-8x_2,-8y_2)$ である。

(2) まず $\mathbf p\ne\mathbf0$ である。もし $\mathbf p=\mathbf0$ ならば $A\mathbf p=-2\mathbf q$ より $\mathbf q=\mathbf0$ となり、PとQが同じ点になって矛盾する。同様に、$\mathbf q=\mathbf0$ ならば $A^2\mathbf q=4\mathbf p$ より $\mathbf p=\mathbf0$ となるので、$\mathbf q\ne\mathbf0$ でもある。

O,P,Qが同一直線上にあると仮定する。$\mathbf p\ne\mathbf0$ なので、ある実数 $t$ を用いて $\mathbf q=t\mathbf p$ と表せる。このとき $$A\mathbf p=-2t\mathbf p,\qquad A^2\mathbf p=A(-2t\mathbf p)=-2tA\mathbf p=4t^2\mathbf p,$$ したがって $$4\mathbf p=A^2\mathbf q=tA^2\mathbf p=4t^3\mathbf p.$$ $\mathbf p\ne\mathbf0$ より $t^3=1$。$t$ は実数だから $t=1$ であり、$\mathbf q=\mathbf p$、すなわちP=Qとなる。これは異なる2点という条件に反する。よってO,P,Qは同一直線上にない。

さらに $x_1y_2-x_2y_1=0$ と仮定する。$\mathbf p\ne\mathbf0$ である。$x_1\ne0$ ならば $y_2=(x_2/x_1)y_1$ なので $\mathbf q=(x_2/x_1)\mathbf p$ となる。$x_1=0$ ならば $y_1\ne0$ であり、仮定から $-x_2y_1=0$、ゆえに $x_2=0$ だから $\mathbf q=(y_2/y_1)\mathbf p$ となる。いずれの場合もO,P,Qが同一直線上にあることになり、先ほどの結論に反する。したがって $x_1y_2-x_2y_1\ne0$。

(3) $D=x_1y_2-x_2y_1\ne0$ とおく。任意の点の位置ベクトル $\mathbf r=(u,v)$ に対し、 $$\displaystyle \alpha=\frac{uy_2-vx_2}{D},\qquad \beta=\frac{x_1v-y_1u}{D}$$ とおけば、成分を計算して $\mathbf r=\alpha\mathbf p+\beta\mathbf q$ を得る。(1)と線形性より $$A^3\mathbf r=\alpha A^3\mathbf p+\beta A^3\mathbf q =-8\alpha\mathbf p-8\beta\mathbf q=-8\mathbf r.$$ よって $A^3$ は座標平面のすべての点を原点を中心に $-8$ 倍する変換であり、その行列は $-8E$ である。