2東北大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) 直線 $y=mx$ の方向ベクトルを $e=(1,m)$、点 $P=(x,y)$ のこの直線への正射影を $P_\parallel$ とすると $$\displaystyle P_\parallel=\frac{P\cdot e}{e\cdot e}e=\frac{x+my}{1+m^2}(1,m).$$ 対称移動後の点は $2P_\parallel-P$ なので、$g$ を表す行列は $$\displaystyle A=\frac1{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{pmatrix}.$$

(2) 直線 $y=x$ に関する対称移動の行列を $F=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ とする。$g\circ f$ の行列は $B=AF$ だから $$\displaystyle B=\frac1{1+m^2}\begin{pmatrix}2m&1-m^2\\m^2-1&2m\end{pmatrix}.$$

(3) $\displaystyle u=\frac{2m}{1+m^2}$、$\displaystyle v=\frac{1-m^2}{1+m^2}$ とおけば、$u^2+v^2=1$ かつ $$B=\begin{pmatrix}u&v\\-v&u\end{pmatrix},\qquad B^3=\begin{pmatrix}u^3-3uv^2&3u^2v-v^3\\v^3-3u^2v&u^3-3uv^2\end{pmatrix}.$$ よって $B^3=I$ の条件は $u^3-3uv^2=1$ および $v(3u^2-v^2)=0$ である。

まず $v=0$ なら $m=\pm1$ であり、$u=m$ だから第1式を満たすのは $m=1$ のみ。次に $v\ne0$ なら $v^2=3u^2$。これと $u^2+v^2=1$ から $\displaystyle u^2=\frac14$ であり、第1式は $-8u^3=1$ となるので $\displaystyle u=-\frac12$。したがって $$\displaystyle \frac{2m}{1+m^2}=-\frac12\quad\text{すなわち}\quad m^2+4m+1=0\quad\text{すなわち}\quad m=-2\pm\sqrt3.$$ この2値では $u=-1/2$、$v^2=3/4$ となり、上の2条件をともに満たす。ゆえに求める値は $m=1,-2+\sqrt3,-2-\sqrt3$。

直線方向への正射影で反射行列を作り、行列積と三乗を直接計算して$B^3=I$の条件を場合分けで解く。