4東北大学 2012年 数学 第4問解答・解説

$u=|t-x|$ とおき、$\displaystyle h(u)=\dfrac{\cos u}{1+\sin u}$ とする。$0\le u\le\pi$ で $$H(u)=\ln(1+\sin u),\qquad H'(u)=h(u).$$

まず $0\le x\le\pi/2$ では積分を $t=x$ で分ける。 $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\int_0^x h(x-t)\,dt+\int_x^{\pi/2}h(t-x)\,dt\\ &=H(x)+H\left(\frac\pi2-x\right)\\ &=\ln\bigl((1+\sin x)(1+\cos x)\bigr). \end{aligned} \tag{1}$$ 一方、$\pi/2\le x\le\pi$ では $|t-x|=x-t$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\int_0^{\pi/2}h(x-t)\,dt\\ &=H(x)-H\left(x-\frac\pi2\right)\\ &=\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\cos x}\right). \end{aligned} \tag{2}$$

(1) の範囲で $p=\sin x+\cos x$ とおくと $1\le p\le\sqrt2$ であり、$\sin x\cos x=(p^2-1)/2$ から $$\displaystyle (1+\sin x)(1+\cos x)=\frac{(1+p)^2}{2}.$$ これは $p$ とともに増加するため、(1) の最大値は $p=\sqrt2$、すなわち $x=\pi/4$ のとき $$\displaystyle \ln\left(\frac{(1+\sqrt2)^2}{2}\right)=\ln\left(\frac{3+2\sqrt2}{2}\right)$$ となる。この最大値は $(1+\sqrt2)^2/2>2$ より $\ln2$ より大きい。また (1) では $p\ge1$ より $f(x)\ge\ln2$。

(2) の範囲では $s=\sin x$、$c=\cos x$ とおくと、$0\le s\le1$、$-1\le c\le0$ である。したがって $$1+2s+c\ge0,\qquad 1-2c-s\ge0$$ より $$\displaystyle \frac12\le\frac{1+s}{1-c}\le2.$$ よって (2) の値は $-\ln2\le f(x)\le\ln2$ であり、下端は $x=\pi$ で達する。(1) の値は $\ln2$ 以上なので、全区間での最小値は $-\ln2$ である。以上から最大値は $\ln\left((3+2\sqrt2)/2\right)$、最小値は $-\ln2$。

$\displaystyle g(u)=\frac{\cos u}{1+\sin u}$ の原始関数は $\ln(1+\sin u)$。$0\le x\le\pi/2$ では積分を $t=x$ で分け、$f(x)=\ln((1+\sin x)(1+\cos x))$。$p=\sin x+\cos x$ とおくと $1\le p\le\sqrt2$、積は $(1+p)^2/2$ だから、この枝の最小値は $\ln2$、最大値は $\ln(3/2+\sqrt2)$。$\pi/2\le x\le\pi$ では $f(x)=\ln((1+\sin x)/(1-\cos x))$。この比は $1/2$ 以上 $2$ 以下で、$1/2$ は $x=\pi$ で達する。前半枝が $\ln2$ 以上、後半枝が $-\ln2$ 以上であるため、全体の極値は記載の通り。