14東邦大学 2012年 数学 第14問解答・解説

三角形の内部では$y>0$、$4x+3y-4<0$、$12x-5y>0$である。内心を$(x,y)$とすると、各辺までの距離が等しい。直線$y=0$までの距離は$y$、他の2直線までの距離はそれぞれ$$\displaystyle \frac{4-4x-3y}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{4-4x-3y}{5},\qquad \frac{12x-5y}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}=\frac{12x-5y}{13}.$$よって$$\displaystyle y=\frac{4-4x-3y}{5},\qquad y=\frac{12x-5y}{13}.$$前者から$x+2y=1$、後者から$\displaystyle y=\frac23x$。これらを連立すると$\displaystyle x=\frac37,y=\frac27$。実際この点は$y>0$、$\displaystyle 4x+3y-4=-\frac{10}{7}<0$、$\displaystyle 12x-5y=\frac{26}{7}>0$を満たして三角形内部にあり、3辺までの距離はいずれも$\displaystyle \frac27$。従って内心の$x$座標は$\displaystyle \frac37$である。