5岐阜大学 2012年 数学 第5問解答・解説

(1) $a=1$ の場合 恒等式 $\cos 2t=1-2\sin^2t$ より $$x=1-2y^2.$$ この媒介変数の範囲では $-1\le y\le1$ であり、逆にこの区間内の各 $y$ について、$y=\sin t$ かつ $-\pi\le t\le\pi$ を満たす $t$ が存在する。したがって曲線全体は $$\boxed{x=1-2y^2,\quad -1\le y\le1}$$ で表される。左向きに開く放物線の一部で、頂点は $(1,0)$、端点は $(-1,-1),(-1,1)$ である。

(2) $a=2$ の場合 このとき $x=\cos2t$, $y=\sin2t$ だから $$x^2+y^2=\cos^2 2t+\sin^2 2t=1.$$ また $2t$ は $-2\pi\le2t\le2\pi$ の範囲を動くので、単位円周全体を（反時計回りに）2周する。よって $$\boxed{x^2+y^2=1}.$$

(3) 定積分 $y'(t)=a\cos at$ であるから、積和公式を使うと $$\displaystyle x(t)y'(t)=a\cos2t\cos at =\frac a2\{\cos((a-2)t)+\cos((a+2)t)\}.$$ $a\ne2$（かつ $a>0$）なら両周波数は0でなく、積分して $$\displaystyle \begin{aligned} P(a) &=a\left\{\frac{\sin\pi(a-2)}{a-2} +\frac{\sin\pi(a+2)}{a+2}\right\}\\ &=a\sin\pi a\left(\frac1{a-2}+\frac1{a+2}\right) =\boxed{\frac{2a^2\sin\pi a}{a^2-4}}. \end{aligned}$$ ここでは $\sin\pi(a-2)=\sin\pi(a+2)=\sin\pi a$ を用いた。 $a=2$ のときは直接計算し、 $$\displaystyle P(2)=\int_{-\pi}^{\pi}2\cos^2 2t\,dt =\int_{-\pi}^{\pi}(1+\cos4t)\,dt =\boxed{2\pi}.$$

(4) 極限 $h=a-2$ とおけば、$a\ne2$ に対し $$\displaystyle P(a)=\frac{2(2+h)^2\sin(2\pi+\pi h)}{h(4+h)} =\frac{2(2+h)^2\sin(\pi h)}{h(4+h)}.$$ $\displaystyle\lim\limits _{h\to0}\frac{\sin(\pi h)}h=\pi$ より $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{a\to2}P(a)=2\pi}.$$

(5) 連続性 (3)で得た $P(2)=2\pi$ と (4) の極限値が等しい。したがって $P(a)$ は $a=2$ において $$\boxed{\text{連続である}}.$$