3北海道大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) まず上側を示す。$p(x)=x-\sin x$ とおくと、$p(0)=0$、$p'(x)=1-\cos x\ge0$ だから、$x\ge0$ で $p(x)\ge0$、すなわち $\sin x\le x$ である。次に $\displaystyle q(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$ とおく。$q(0)=q'(0)=0$、$q''(x)=1-\cos x\ge0$ なので、$q'(x)\ge0$、さらに $q(x)\ge0$ ($x\ge0$)。したがって $\displaystyle h(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}$ とおけば $h(0)=0$、$h'(x)=q(x)\ge0$ であり $h(x)\ge0$。よって $\displaystyle x-\frac{x^3}{6}\le\sin x\le x$ が成り立つ。

(2) (1)で $x$ を $t$ に置き換え、$t\ge0$ を掛ける。$\displaystyle t^2-\frac{t^4}{6}\le t\sin t\le t^2$ となるので、これを $0$ から $x$ まで積分して、$\displaystyle \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}\le\int_0^x t\sin t\,dt\le\frac{x^3}{3}$ を得る。

(3) $N(x)=\sin x-x\cos x$ とおくと $N(0)=0$ であり、$N'(x)=x\sin x$ だから、微分積分の基本定理より $\displaystyle N(x)=\int_0^x t\sin t\,dt$ である。$x>0$ で (2) を $x^3$ で割ると、$\displaystyle \frac13-\frac{x^2}{30}\le\frac{N(x)}{x^3}\le\frac13$。はさみうちの定理から右極限は $1/3$ である。また $N$ は奇関数で $x^3$ も奇関数だから、$x\ne0$ における商 $N(x)/x^3$ は偶関数である。よって左極限も同じで、求める両側極限は $1/3$。