5北海道大学 2012年 数学 第5問解答・解説

Aが各試合に勝つ確率を $p$、Bが勝つ確率を $q$ とし、$p+q=1$ とする。Aが先に $k$ 勝するには、最後の試合にAが勝ち、その直前の $k+j-1$ 試合でAが $k-1$ 勝、Bが $j$ 勝（$0\le j\le k-1$）している。Bの勝ちの位置の選び方は $\displaystyle \binom{k+j-1}{j}$ 通りであるから $$\displaystyle P_k=\sum\limits _{j=0}^{k-1}\binom{k+j-1}{j}p^kq^j.$$ 従って $$\begin{aligned} P_2&=p^2+2p^2q=p^2(1+2q),\\ P_3&=p^3+3p^3q+6p^3q^2=p^3(1+3q+6q^2),\\ P_4&=p^4+4p^4q+10p^4q^2+20p^4q^3 =p^4(1+4q+10q^2+20q^3). \end{aligned}$$ (4)では $p=1-q$ より $$\begin{aligned} P_3-P_4 &=p^3\{(1+3q+6q^2)-(1-q)(1+4q+10q^2+20q^3)\}\\ &=10p^3q^3(2q-1)>0 \end{aligned}$$ となる。$1/2<q<1$ では $p>0,q>0,2q-1>0$ だから $P_4<P_3$。