2山口大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$u=\pi/2-x$ とおくと $\tan x=\cot u$、$g(x)=1/u-2/\pi$。$H(u)=\cot u-1/u+2/\pi$ は $H(\pi/2)=0$ であり、 $$\displaystyle H'(u)=-\frac1{\sin^2u}+\frac1{u^2}<0\quad(0<u<\pi/2),$$ （$\sin u<u$）より $H(u)>0$。

・ 従って $f(x)>g(x)$。

・ $$\displaystyle \begin{aligned} S(a)&=\int_0^a(f-g)\,dx\\ &=-\log(\cos a)+\log(\pi-2a)+\frac{2a}{\pi}-\log\pi. \end{aligned}$$ $a\to\pi/2-$ で $(\pi-2a)/\cos a\to2$ なので $\displaystyle \lim S(a)=1+\log(2/\pi)$。

・ $a_m,b_m$ を直線 $y=mx+1$ と $f,g$ の交点の $x$ 座標とする。$f>g$ より $0<a_m<b_m<\pi/2$。$m\to\infty$ では両者とも $\pi/2$ に近づく。領域面積は $$\displaystyle T(m)=\int_0^{a_m}(f-g)\,dx+\int_{a_m}^{b_m}(mx+1-g)\,dx.$$ 第1項は(2)の極限へ。第2項では $q_m=mx+1-g(x)$ とする。$u_m=\pi/2-a_m$ とおくと、交点条件から $m=(\cot u_m-1)/(\pi/2-u_m)\sim2/(\pi u_m)$。一方 $g'(a_m)=1/u_m^2$ なので $g'(a_m)/m\to\infty$。また $g''(x)=16/(\pi-2x)^3>0$ より $q_m'=m-g'(x)$ は減少し、十分大きい $m$ では $q_m$ は $a_m\le x\le b_m$ の範囲で減少する。従って $0\le q_m\le q_m(a_m)=f(a_m)-g(a_m)\to2/\pi$。また $b_m-a_m\to0$ より第2項は0へ。ゆえに $\displaystyle \lim\limits _{m\to\infty}T(m)=1+\log(2/\pi)$。

u=π/2−xとすると tan x=cot u、g(x)=1/u−2/π。H(u)=cot u−1/u+2/πはH(π/2)=0で、H′(u)=−csc²u+1/u²<0（sin u<u）だから0<u<π/2でH(u)>0。(2)は積分して S(a)=−log(cos a)+log(π−2a)+2a/π−logπ。端点で(π−2a)/cos a→2となるため極限1+log(2/π)。(3) f,gと直線の交点を0<a_m<b_m<π/2とする。m→∞で両交点はπ/2へ近づき、0〜a_mの曲線間面積は(2)の極限へ。a_m〜b_mで直線とgの間の面積は区間幅が0へ縮み、被積分差は端点値 tan(a_m)−g(a_m)→2/π に抑えられるため0へ。