山口大学 2013年数学第3問解答・解説

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1問題

山口大学2013年度第3問配点 50点

$xy$ 平面において、方程式 $x+3y=6$ で表される直線を $l_{0}$ とし、方程式 $y=x^{2}-1$ で表される放物線を $C_{0}$ とする。 $l_{0}$ に関して $C_{0}$ と対称な放物線を $C_{1}$ とするとき、次の問いに答えなさい。

(1) 点 $P(a,b)$ と点 $Q(c,d)$ が $l_{0}$ に関して対称であるとき、 $a,b$ を用いて $c,d$ を表しなさい。

(2) $C_{1}$ 上の点のうち、 $x$ 座標が最も大きい点の座標を求めなさい。

(3) 原点を通る直線 $l_{1}$ に関して $C_{1}$ と対称な放物線を $C_{2}$ とする。 $C_{2}$ が放物線 $x=-y^{2}$ を平行移動して得られる放物線に一致するとき、 $l_{1}$ の方程式を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) c=(4a−3b+6)/5, d=(−3a−4b+18)/5$ 。 (2) (31/15,164/45)。 $(3) l1:y=x/2$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $l_0$ の法線は $(1,3)$ 。Pからの垂線の足と反射点を順にH,Qとすると $\displaystyle H=P-\frac{a+3b-6}{10}(1,3),\qquad Q=2H-P.$ 従って $\displaystyle c=\frac{4a-3b+6}{5},\qquad d=\frac{-3a-4b+18}{5}.$ (2) $C_0$ を $(t,t^2-1)$ と置くと反射像C1の座標は $\displaystyle X=\frac{-3t^2+4t+9}{5} =-\frac35\left(t-\frac23\right)^2+\frac{31}{15},\quad Y=\frac{-4t^2-3t+22}{5}.$ 最大は $t=2/3$ で、 $X=31/15,\ Y=164/45$ 。 (3) C0を頂点から $t(1,0)+t^2(0,1)$ で表す。l0で反射された一次方向と二次方向は $u=(4/5,-3/5),\qquad v=(-3/5,-4/5).$ 目標の放物線 $x=-y^2$ の二次方向は $w=(-1,0)$ 。反射軸の方向は $v+w\parallel(2,1)$ なので $l_1:y=x/2$ 。この反射で $u\mapsto(0,1),v\mapsto(-1,0)$ 、頂点 $(9/5,22/5)$ は $(23/5,-6/5)$ へ移る。よって $C_2:(x,y)=(23/5-t^2,-6/5+t),\qquad x=23/5-(y+6/5)^2,$ 確かに $x=-y^2$ の平行移動である。

この問題で使う考え方

直線対称の座標計算
二次関数の平方完成
反射する方向ベクトル

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