京都大学
2013年度の数学京都大学・全5問
- 1平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを1：1に内分する点をE，辺BCを2：1に内分する点をF，辺CDを3：1に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし，線分APを延長した直線と辺B…
- 2Nを2以上の自然数とし，aₙ（n＝1，2，…）を次の性質(i)，(ii)をみたす数列とする。 (i) a₁＝2ᴺ−3， (ii) n＝1，2，…に対して，aₙが偶数のとき aₙ₊₁＝aₙ／2，…
- 3nを自然数とし，整式xⁿを整式x²−2x−1で割った余りをax＋bとする。このときaとbは整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。
- 4−π／2≦x≦π／2における cos x＋(√3／4)x² の最大値を求めよ。ただしπ＞3.1および√3＞1.7が成り立つことは証明なしに用いてよい。
- 6投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き，この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し，裏が出れば数直線上で座標1の点に関して対称…