京都大学 2013年数学第2問解答・解説

数列

このページには広告が含まれます。

1問題

京都大学2013年度第2問配点 35点

Nを2以上の自然数とし，aₙ（n＝1，2，…）を次の性質(i)，(ii)をみたす数列とする。

(i) a₁＝2ᴺ−3，

(ii) n＝1，2，…に対して，aₙが偶数のとき aₙ₊₁＝aₙ／2，aₙが奇数のとき aₙ₊₁＝(aₙ−1)／2。このときどのような自然数Mに対しても Σ（n＝1からM）aₙ ≦ 2ᴺ⁺¹−N−5 が成り立つことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$a_1=2^N-3$ は奇数なので $a_2=2^{N-1}-2$ 。これは偶数だから $a_3=2^{N-2}-1$ 。以後，漸化式を順に適用すると $a_n=2^{N-n+1}-1\quad(3\le n\le N+1).$ 実際， $3\le n\le N$ で右辺は奇数なので，次項は $(a_n-1)/2=2^{N-n}-1$ となる。 $a_{N+1}=0$ 以降は全項0である。 $N=2$ の場合も $a_2=a_3=0$ で整合する。各項は非負だから，どの部分和も全項の和を超えない。よって $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n=1}^M a_n&\le (2^N-3)+(2^{N-1}-2)+\sum\limits _{j=0}^{N-2}(2^j-1)\\ &=2^N+2^{N-1}-5+(2^{N-1}-1)-(N-1)\\ &=2^{N+1}-N-5. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

漸化式
総和記号と数列の和

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。