1滋賀医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

座標の両方が有理数である点を有理点と呼ぶ。

(1) $P=(a,b)$ とおく。傾き1で $P$ を通る直線は $y-b=x-a$ である。$x$ 軸との交点を $(t,0)$ とすると、$t=a-b$ であり、仮定から $t$ は有理数である。さらに $P$ は $x^2-y^2=1$ 上なので $$(a-b)(a+b)=1.$$ 従って $t\ne0$ で、$a+b=1/t$ も有理数である。よって $$\displaystyle a=\frac{(a+b)+(a-b)}2,\qquad b=\frac{(a+b)-(a-b)}2$$ はいずれも有理数である。したがって $P$ は有理点である。

(2) 任意の $r>0$ に対し、$n$ を $n>\sqrt2r$ を満たす正の整数とする。点 $$\displaystyle P_n=(x,y)=\left(\frac{n+n^{-1}}2,\frac{n-n^{-1}}2\right)$$ は有理点であり、$x+y=n$, $x-y=1/n$ から $x^2-y^2=1$ を満たす。原点からの距離を $d$ とすれば $$\displaystyle d^2=x^2+y^2=\frac{n^2+n^{-2}}2>\frac{n^2}{2},$$ ゆえに $d>n/\sqrt2>r$ である。この構成により、距離が $r$ より大きい有理点が存在する。

(3) 有理数 $x,y$ が $x^2-6y^2=7$ を満たすと仮定する。共通分母を用いて $x=a/c$, $y=b/c$ とし、整数 $a,b,c$ を $c>0$ かつ $\gcd(a,b,c)=1$ となるように選ぶ。すると $$a^2-6b^2=7c^2.$$ これを7で割った余りで考えると $a^2+b^2\equiv0\pmod 7$ となる。平方数の余りは $0,1,2,4$ であり、この集合から選んだ二数の和が7の倍数となるのは $0+0$ の場合だけである。従って $7\mid a$ かつ $7\mid b$ で、左辺 $a^2-6b^2$ は49の倍数である。等式より $49\mid7c^2$、したがって $7\mid c^2$、ゆえに $7\mid c$ となる。これは $\gcd(a,b,c)=1$ に反する。したがって曲線上に有理点はない。