2名古屋市立大学 2020年 数学 第2問解答・解説

1回の試行による得点の変化を$3$で割った余りで見ると、$+1$は確率$1/8$、$-1$は確率$1/8$、$0$は確率$6/8=3/4$である。$P_n$を得点が0の剰余類にいる確率とする。次の試行で剰余$0$にいるには、現在$0$で変化$0$となるか、現在$1$で$-1$、または現在$2$で$+1$となる。従って $$\displaystyle P_{n+1}=\frac34P_n+\frac18(1-P_n) =\frac58P_n+\frac18,\qquad P_0=1.$$ 定常値は$1/3$なので $$\displaystyle P_{n+1}-\frac13=\frac58\left(P_n-\frac13\right).$$ これを繰り返すと $$\displaystyle P_n=\frac13+\frac23\left(\frac58\right)^n =\frac{1+2(5/8)^n}{3}.$$ したがって $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}P_n=\frac13$。

得点そのものではなく$3$で割った余りを追います。各回の変化は、余りを$0$に保つ確率が$\displaystyle \frac34$、余りを$1$増やす確率と$1$減らす確率がそれぞれ$\displaystyle \frac18$です。次の余りが$0$になる確率は、現在$0$から変化しない場合と、現在$1$または$2$から戻る場合の和なので一次漸化式になります。固定値$\displaystyle \frac13$を引くと公比$\displaystyle \frac58$の等比数列です。