3高知大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) 偶関数の定義 $f(t)=f(-t)$ を微分係数の定義に使う。$k=-h$ とおけば $$\displaystyle f'(-x)=\lim\limits _{h\to0}\frac{f(-x+h)-f(-x)}h =\lim\limits _{k\to0}\frac{f(x+k)-f(x)}{-k}=-f'(x),$$ よって $f'(x)=-f'(-x)$。

(2) 多項式 $\displaystyle f(x)=\sum c_jx^j$ とおく。恒等式 $f(x)=f(-x)$ で係数を比較すると、奇数次の係数は0。さらに $f(0)=0$ より定数項も0なので、残る項はすべて $x^2$ を因数にもつ。

(3) 微積分の基本公式から $\displaystyle \int_a^x f'(t)dt=f(x)-f(a)$。これが $f(x)-1$ に等しい条件は $f(a)=1$。仮定から $f(1)=1$、偶関数性から $f(-1)=1$ なので、二つの値は $a=1,-1$。

(4) 偶関数かつ $f(0)=0$ の6次式を $f(x)=ax^6+bx^4+cx^2$（$a\ne0$）とおく。$f(1)=1$ より $a+b+c=1$。また $$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)dx=2\left(\frac a7+\frac b5+\frac c3\right)=\frac23$$ より $15a+21b+35c=35$。前式を用いて整理すると $10a+7b=0$、すなわち $b=-10a/7$、$c=1+3a/7$。従ってすべての解は $$\displaystyle f(x)=ax^6-\frac{10}{7}ax^4+\left(1+\frac{3a}{7}\right)x^2\quad(a\text{ は0でない実数}).$$