2高知大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) $z=x+yi$ として $z^2+\overline{z}^2=2(x^2-y^2)=0$、よって $y=\pm x$。(2) 与えられた単位複素数を極形式にし、偏角を半分にして二根を得る。(3) 実部を展開すると $y^2+2\sqrt3xy-x^2=0$。解くと $y=(2-\sqrt3)x$ または $y=-(2+\sqrt3)x$。(4) 条件 $\displaystyle \frac\pi2<\arg z<\pi$ は後者の第二象限側だけを残し、$|z|=1$から偏角$105^\circ$。加法定理で $\displaystyle z=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}+i\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$。

原文p.2の複素数Q2全4小問とp.1を実視認。$z=x+yi$で(1)は$x^2-y^2=0$より$y=\pm x$。(2)は単位複素数の平方根で二つの解。(3)を実部に展開すると$y^2+2\sqrt3xy-x^2=0$、二直線の傾き$2-\sqrt3,\;-(2+\sqrt3)$。(4)は第二象限・単位円に合う枝だけ選び$105^\circ$、加法定理で表示。旧A/Bは同値の直線・根・点を示し、高校範囲。