2神戸大学 2016年 数学 第2問解答・解説

解答　 $q(x)=x^2+2ax+a=(x+a)^2+a-a^2$ とおく。　 (1)　 頂点は $(-a,a-a^2)$。$0<a<1$ では $q>0$ なので $y=f(x)$ は頂点 $(-a,a-a^2)$ の上向き放物線。$a=1$ では $y=(x+1)^2$。$a>1$ では零点 $x=-a\pm\sqrt{a(a-1)}$ の間で $q<0$ となるから、その区間だけ $y=-q(x)$、外側は $y=q(x)$ とする。　 (2)　 条件は、すべての実数 $x$ について $b\le f(x)-2x$ が成り立つことである。$a=2$ とし $r_\pm=-2\pm\sqrt2$ とおく。外側では $$f(x)-2x=q(x)-2x=(x+1)^2+1.$$ 右側 $x\ge r_+$ の最小値は端点で $4-2\sqrt2$、左側の最小値は $r_-$ で $4+2\sqrt2$。内側では $$f(x)-2x=-q(x)-2x=7-(x+3)^2,$$ 下向き放物線なので最小値は端点の小さい方、すなわち $4-2\sqrt2$。従って $$\boxed{b\le4-2\sqrt2}.$$ (3)　 $h(x)=f(x)-2x$ とする。$0<a\le1$ では $q\ge0$ だから $$h(x)=q(x)-2x=(x+a-1)^2+3a-a^2-1,$$ よって下限は $m=3a-a^2-1$。　 $1<a\le3/2$ では $d=\sqrt{a(a-1)}$、$r_\pm=-a\pm d$ とおく。外側の式は同じで、その頂点 $1-a$ は右側領域にある。実際、$(1-a)-r_+=1-d>0$ は $d\le\sqrt{3/4}<1$ から従うので、外側の最小値は $m$。内側では $$h(x)=-q(x)-2x=-x^2-2(a+1)x-a$$ は下向き放物線であり、最小値は端点で生じる。端点値は $2a+2d$ と $2a-2d$ だから、その小さい方と $m$ の差は $$(2a-2d)-m=a^2-a+1-2d=1+d^2-2d=(1-d)^2\ge0.$$ よって全体の下限は $m$。従って求める範囲と領域は $$\boxed{b\le3a-a^2-1\quad(0<a\le3/2)},\qquad \boxed{0<a\le3/2,\ b\le3a-a^2-1}.$$ 境界の放物線は含み、$a=0$ は含まず $a=3/2$ は含む。

(1)の3図は分類ごとの代表的な概形であり、零点・頂点は本文の一般式に従う。(3)の水色部分が領域で、上側の放物線とa=3/2は含み、a=0は含まない。表示窓の下端は領域の境界ではない。