3神戸大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) 接点の $x$ 座標を $p$ とする。接する条件は値と導関数が等しいことだから $$\displaystyle \log p=ap^2,\qquad \frac1p=2ap.$$ 後式から $a=1/(2p^2)$。これを前式に代入して $\log p=1/2$、ゆえに $p=\sqrt e$、$a=1/(2e)$。従って $$\boxed{P=(\sqrt e,1/2),\quad a=1/(2e)}.$$

(2) $0<x\le1$ では $\log x\le0<ax^2$。また $1<x<\sqrt e$ では差 $g(x)=ax^2-\log x$ は $g(\sqrt e)=0$、$g'(x)=x/e-1/x<0$ なので $g(x)>0$。従って回転体の体積は、$0\le x\le1$ の円板と $1\le x\le\sqrt e$ の円環を合わせて $$\displaystyle V=\pi\int_0^{\sqrt e}a^2x^4\,dx-\pi\int_1^{\sqrt e}(\log x)^2\,dx.$$ $$\displaystyle a^2\int_0^{\sqrt e}x^4dx=\frac{\sqrt e}{20},\qquad \int_1^{\sqrt e}(\log x)^2dx =\left[x\bigl((\log x)^2-2\log x+2\bigr)\right]_1^{\sqrt e} =\frac{5\sqrt e}{4}-2.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{V=\pi\left(2-\frac{6\sqrt e}{5}\right)}.$$