3富山大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>0$では $$f'(x)=\log x+1$$であり、$f'(x)<0$（$0<x<e^{-1}$）、$f'(x)>0$（$x>e^{-1}$）だから、最小値をとるのは$a=e^{-1}$のときで、$f(a)=-e^{-1}$。$x\le0$では$f(x)=0$なので、これが全体での最小値である。

(2) $x\le0$で$f(x)=g(x)$なら$x(x-1)=0$より$x=0$。$x>0$では$x$で割って$\log x=x-1$。$h(x)=\log x-x+1$とおくと$h'(x)=1/x-1$だから、$h$は$x=1$で最大値0をとり、$h(x)=0$となるのは$x=1$のみ。よって共有点は$(0,0),(1,0)$のちょうど2点。

(3) $a\le x\le1$で$h(x)=\log x-x+1\le0$より$f(x)\le g(x)\le0$。回転時の外半径は$-f(x)$、内半径は$-g(x)$なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_{1/e}^1\{f(x)^2-g(x)^2\}\,dx\\ &=\pi\int_{1/e}^1\left[x^2(\log x)^2-x^2(x-1)^2\right]dx. \end{aligned}$$ また、 $$\displaystyle \int x^2(\log x)^2\,dx=\frac{x^3}{3}\left((\log x)^2-\frac23\log x+\frac29\right),$$ $$\displaystyle \int x^2(x-1)^2\,dx=\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\left(\frac{2}{27}-\frac{17}{27e^3}-\frac1{30}+\frac1{5e^5}-\frac1{2e^4}+\frac1{3e^3}\right)\\ &=\pi\left(\frac{11}{270}-\frac{8}{27e^3}-\frac1{2e^4}+\frac1{5e^5}\right). \end{aligned}$$