2富山大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) 解と係数の関係より　 $\alpha+\beta+\gamma=0,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-3$. よって　 $\beta+\gamma=-\alpha,\qquad \beta\gamma=\alpha^2-3$. $\beta$,$\gamma$ は $u^2+\alpha u+\alpha^2-3=0$ の解であり、$\beta\ge\gamma$ から $$\displaystyle \beta=\frac{-\alpha+\sqrt{12-3\alpha^2}}2,\qquad \gamma=\frac{-\alpha-\sqrt{12-3\alpha^2}}2.$$ (2) $f(x)=x^3-3x$ とおくと $f'(x)=3(x^2-1)$ で、f は $1\le x\le2$ の範囲で単調増加する。 $f(1)=-2,\quad f(2)=2$ だから、 $-2\le t\le2$ に対する最大根は $1\le\alpha\le2$ にあり、 $t=f(\alpha)=\alpha^3-3\alpha$ と表せる。 $$\displaystyle dt=3(\alpha^2-1)\,d\alpha,\qquad \frac{\beta\gamma}{\alpha}=\frac{\alpha^2-3}{\alpha}=\alpha-\frac3\alpha.$$ ゆえに $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-2}^{2}\frac{\beta\gamma}{\alpha}\,dt &=3\int_1^2\left(\alpha-\frac3\alpha\right)(\alpha^2-1)\,d\alpha\\ &=\left[\frac34\alpha^4-6\alpha^2+9\ln\alpha\right]_1^2 =9\ln2-\frac{27}{4}. \end{aligned}$$ ここで $\ln$ は自然対数を表す。端点では $t=-2$ の根は $(1,1,-2)$、 $t=2$ の根は $(2,-1,-1)$ である。