1富山大学 2017年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad f'(x)=\frac12\left((\ln2)2^x+(\ln2)2^{-x}\right)=\frac{\ln2}{2}(2^x+2^{-x}),\quad f''(x)=\frac{(\ln2)^2}{2}(2^x-2^{-x})=(\ln2)^2f(x).\\\text{(2)}\quad f'(x)>0\text{ であり、}\lim\limits _{x\to\infty}f(x)=\infty,\ \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=-\infty\text{ なので、}f\text{ は異なる実数に対して異なる値をとり、値域は実数全体である。}\ y=f(x),\ t=2^x>0\text{ とおくと }t-t^{-1}=2y\text{、したがって }t^2-2yt-1=0.\text{ この二根の積は }-1\text{ だから正の根は }t=y+\sqrt{y^2+1}.\text{ よって }x=\log_2(y+\sqrt{y^2+1})\text{ であり、}\ f^{-1}(y)=\log_2(y+\sqrt{y^2+1}).\\\text{(3)}\quad x\to\infty\text{ で }\frac{f(x)}{2^x}=\frac{1-2^{-2x}}2\to\frac12.\text{ ゆえに }\frac{a f(x)+\sqrt{a^2f(x)^2+1}}{2^x}\to\frac a2+\sqrt{\frac{a^2}{4}}=a\quad(a>0).\text{ したがって }f^{-1}(af(x))-x=\log_2\left(\frac{a f(x)+\sqrt{a^2f(x)^2+1}}{2^x}\right)\to\log_2 a.\\\text{(4)}\quad f(-x)=-f(x)\text{ であり、逆関数も奇関数なので、}t=-x\to\infty\text{ とおくと }f^{-1}(af(x))-x=f^{-1}(af(-t))+t=-f^{-1}(af(t))+t=-\left(f^{-1}(af(t))-t\right).\text{ (3)より極限は }-\log_2 a.$$