3近畿大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $\angle ABC=B$とする。余弦定理より $$14=AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos B=25+4-20\cos B,$$ したがって$\cos B=3/4$。$B$は三角形の内角なので$\sin B=\sqrt{1-(3/4)^2}=\sqrt7/4$である。よって $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot5\cdot2\sin B=\frac{5\sqrt7}{4}.$$

(2) $DA=9-x$であるから、まず$0<x<9$。$\angle ABC=B$、$\angle ADC=D$とおくと、円に内接する四角形の対角の和は$\pi$なので$D=\pi-B$。対角線$AC$に余弦定理を用いると $$AC^2=5^2+2^2-2\cdot5\cdot2\cos B,$$ $$AC^2=x^2+(9-x)^2-2x(9-x)\cos D =x^2+(9-x)^2+2x(9-x)\cos B.$$ 両式を等しくして $$\displaystyle \cos B=\frac{5^2+2^2-x^2-(9-x)^2}{2\{5\cdot2+x(9-x)\}}.$$ ここで分母は正であり、四角形が退化しないため$|\cos B|<1$である。$P=10+x(9-x)$、$T=29-x^2-(9-x)^2$とおけば、$P=10+9x-x^2$、$T=-52+18x-2x^2$であり、 $$4P^2-T^2=(2P-T)(2P+T)=72\cdot4(8-x)(x-1).$$ したがって$|T|<2P$は$(8-x)(x-1)>0$と同値であり、$1<x<8$を得る。

逆に$1<x<8$なら$4P^2-T^2>0$なので、$\cos B=T/(2P)$を満たす$0<B<\pi$がとれる。辺5,2とその間の角$B$で三角形$ABC$を作る。辺$x,9-x$とその間の角$D=\pi-B$で三角形$ADC$を作ると、上の余弦定理の等式によって両三角形の辺$AC$が等しい。これらを$AC$の反対側に合わせると、対角の和が$\pi$であるから円に内接する四角形ができる。よって範囲は正確に $$1<x<8.$$

(3) 四角形の面積を$K$、$P=5\cdot2+x(9-x)$、$T=5^2+2^2-x^2-(9-x)^2$とする。(2)より$\cos B=T/(2P)$、また$D=\pi-B$なので$\sin D=\sin B$。対角線$AC$で分けた二つの三角形の面積を足すと $$\displaystyle K=\frac12(5\cdot2)\sin B+\frac12x(9-x)\sin D =\frac12P\sin B.$$ 従って $$\displaystyle K^2=\frac{P^2}{4}\left(1-\frac{T^2}{4P^2}\right) =\frac{4P^2-T^2}{16} =18(8-x)(x-1).$$ ここで $$\displaystyle (8-x)(x-1)=\frac{49}{4}-\left(x-\frac92\right)^2\leq\frac{49}{4},$$ 等号は$x=9/2$で成立する。この値は(2)の範囲内で、(2)の構成から実現できる。よって面積の最大値は $$\displaystyle K_{\max}=\sqrt{18\cdot\frac{49}{4}}=\frac{21\sqrt2}{2}.$$ 検算として、この最大値の二乗は$441/2$であり、$x=9/2$を面積二乗の式に代入した値と一致する。