10自治医科大学 2011年 数学 第10問解答・解説

$u=AD$、$v=CD$ とおく。$\displaystyle \cos\theta=-\frac15$、$0<\theta<\pi$ より$\displaystyle \sin\theta=\frac{2\sqrt6}{5}$ である。まず三角形 $ABC$ で余弦定理を用いると$$\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos\theta=1^{2}+5^{2}-2\cdot1\cdot5\left(-\frac15\right)=28.$$また、$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot1\cdot5\cdot\frac{2\sqrt6}{5}=\sqrt6$ だから、$[ACD]=4\sqrt6-\sqrt6=3\sqrt6$ である。円に内接する四角形の対角の和は $\pi$ なので、$\angle ADC=\pi-\theta$。面積から$$\displaystyle \frac12uv\sin(\pi-\theta)=3\sqrt6,\qquad \frac12uv\cdot\frac{2\sqrt6}{5}=3\sqrt6\quad\text{より}\quad uv=15.$$さらに $\displaystyle \cos(\angle ADC)=-\cos\theta=\frac15$ である。三角形 $ACD$ に余弦定理を用いると$$\displaystyle 28=u^{2}+v^{2}-2uv\cdot\frac15=u^{2}+v^{2}-6,$$よって $u^{2}+v^{2}=34$。したがって$$(u+v)^{2}=34+2\cdot15=64,\qquad (v-u)^{2}=34-2\cdot15=4.$$長さは正で、条件 $v>u$ より $u+v=8$、$v-u=2$。これを解くと $v=5$、すなわち $CD=5$ である。検算として $u=3,v=5$ を用いると $AC^{2}=9+25-6=28$、$\displaystyle [ACD]=\frac12\cdot15\cdot\frac{2\sqrt6}{5}=3\sqrt6$ となり、与えられた対角線と面積に一致する。選択肢では $5$ に対応する記号はハである。