24自治医科大学 2011年 数学 第24問解答・解説

$A=(a,a-a^2)$、$P=(t,t-t^2)$ だから、三角形 $OPA$ の面積は座標による面積の式から $$\displaystyle \frac12\left|a(t-t^2)-t(a-a^2)\right|=\frac{a}{2}t(a-t)$$ となる。ここで $a>0,0<t<a$ より $t(a-t)>0$。平方完成すると $$\displaystyle t(a-t)=\frac{a^2}{4}-\left(t-\frac{a}{2}\right)^2\leq\frac{a^2}{4}$$ であり、等号は $\displaystyle t=\frac{a}{2}$ のとき成立する。この値は条件 $0<t<a$ を満たすため、面積の最大値は $$\displaystyle \frac{a}{2}\cdot\frac{a^2}{4}=\frac{a^3}{8}$$。したがって $M=8$、答えは $8$（ラ）である。