9自治医科大学 2011年 数学 第9問解答・解説

$s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$ とおくと、$\displaystyle s+c=\frac12$、$s^{2}+c^{2}=1$ である。$$\displaystyle sc=\frac{(s+c)^{2}-(s^{2}+c^{2})}{2}=\frac{\frac14-1}{2}=-\frac38.$$したがって$$\displaystyle (s-c)^{2}=s^{2}+c^{2}-2sc=1+\frac34=\frac74, \qquad s^{2}+sc+c^{2}=1+sc=\frac58.$$因数分解すると $s^{3}-c^{3}=(s-c)(s^{2}+sc+c^{2})$ なので、$$\displaystyle b=(s^{3}-c^{3})^{2}=\frac74\left(\frac58\right)^{2}=\frac{175}{256}.$$よって$$\displaystyle \frac{256b}{25}=\frac{256}{25}\cdot\frac{175}{256}=7.$$選択肢では $7$ に対応する記号はヤである。