1大分大学 2011年 数学 第1問解答・解説

採用解説: MM-688ee370f4c8-Q1 結論　 (1) $\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \quad (a=|BC|,\ b=|CA|,\ c=|AB|)$ 　　 (2) $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}x_i y_i\leq\sqrt{\sum\limits _{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum\limits _{i=1}^{n}y_i^2}.$　 　 (1) 鋭角三角形ABCの各辺の長さを、$a=|BC|,\ b=|CA|,\ c=|AB|$とする。Cから辺ABに垂線CDを下ろし、$|CD|=h$とおく。三角形ABCは鋭角三角形なので、Dは辺AB上にある。直角三角形ACD、BCDにおいて、$h=b\sin A=a\sin B$である。$\sin A,\sin B>0$より、$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$を得る。

次に、Bから辺ACに垂線BEを下ろし、$|BE|=k$とおく。Eは辺AC上にあり、直角三角形ABE、CBEにおいて、$k=c\sin A=a\sin C$である。したがって、$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$である。以上より、$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$となり、鋭角三角形の場合の正弦定理が示された。

(2)$\displaystyle X=\sqrt{\sum\limits _{i=1}^{n}x_i^2}$、$\displaystyle Y=\sqrt{\sum\limits _{i=1}^{n}y_i^2}$とおく。$X=0$なら各$x_i=0$であり、左辺も右辺も0である。$Y=0$の場合も同様である。よって、$X,Y>0$の場合を考える。各項の平方は0以上だから、 $$\displaystyle 0\leq\sum\limits _{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{X}-\frac{y_i}{Y}\right)^2=\frac{1}{X^2}\sum\limits _{i=1}^{n}x_i^2+\frac{1}{Y^2}\sum\limits _{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2}{XY}\sum\limits _{i=1}^{n}x_i y_i=2-\frac{2}{XY}\sum\limits _{i=1}^{n}x_i y_i.$$ ここで$XY>0$なので、両辺を整理すると$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}x_i y_i\leq XY$を得る。X、Yの定義を戻せば、求める不等式が示された。なお、X、Yがともに正のとき等号が成り立つのは、すべてのiについて$x_i/X=y_i/Y$となる場合である。