6自治医科大学 2011年 数学 第6問解答・解説

まず、$\displaystyle 0<x<\frac13$、$\displaystyle 0<y<\frac13$ より、対数の底はいずれも $0$ と $1$ の間にある。$u=\log_x y$ とおくと $u>0$ であり、$\displaystyle \log_y x=\frac1u$ だから、$$\displaystyle u+\frac1u=2\quad\text{より}\quad (u-1)^2=0.$$よって $u=1$、すなわち $y=x$ である。次に $\theta=\pi x$ とおく。条件から $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$ なので、$\sin(2\theta)$、$\sin\theta$、$\cos\theta$ はすべて正であり、対数は定義される。$y=x$ を第2式に代入し、対数の性質を用いると$$\log_x\bigl(\sin^2(2\theta)\bigr)=\log_x(\sin\theta\cos\theta).$$底 $x$ は $0<x<1$ だから、この対数関数は1対1である。したがって$$\sin^2(2\theta)=\sin\theta\cos\theta.$$$\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$ を用い、正の $\sin\theta\cos\theta$ で割ると$$\displaystyle 4\sin\theta\cos\theta=1,\qquad \sin(2\theta)=\frac12.$$ここで $\displaystyle 0<2\theta<\frac{2\pi}{3}$ であるから、この範囲で $\displaystyle \sin(2\theta)=\frac12$ となるのは $\displaystyle 2\theta=\frac\pi6$ のみ。よって $\displaystyle x=\frac1{12}$、また $y=x$ である。実際、このとき $\displaystyle \sin(2\theta)=\frac12$、$\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac14$ なので第2式も成り立つ。したがって $\displaystyle b=x=\frac1{12}$ より$$12b=1.$$選択肢では $1$ に対応する記号はカである。