3昭和大学 2011年 数学 第3問解答・解説

(1) 各対数の真数が正であるための条件は$1-x>0,\ x+2>0,\ x>0$であり、まとめると$0<x<1$である。底を2にそろえると $$\displaystyle \begin{aligned} &\log_{8}(1-x)+\log_{64}(x+2)\geq\log_{4}x\\ \text{すなわち }&\frac13\log_{2}(1-x)+\frac16\log_{2}(x+2)\geq\frac12\log_{2}x\\ \text{すなわち }&\log_{2}\bigl((1-x)^2(x+2)\bigr)\geq\log_{2}(x^3)\\ \text{すなわち }&(1-x)^2(x+2)\geq x^3\\ \text{すなわち }&x^3-3x+2\geq x^3\\ \text{すなわち }&x\leq\frac23. \end{aligned}$$ 底$2>1$の対数関数は増加し、定義域内で両真数は正なので、以上の変形は同値である。定義域と合わせて解は$\displaystyle 0<x\leq\frac23$である。

(2) $t=\tan x$とおく。$\displaystyle 0<x\leq\frac\pi4$より$0<t\leq1$であるから、 $$\displaystyle t+\frac1t=\frac{10}{3}\quad\text{すなわち}\quad 3t^2-10t+3=0\quad\text{すなわち}\quad(3t-1)(t-3)=0.$$ 二つの候補$\displaystyle t=\frac13,3$のうち範囲を満たすのは$\displaystyle t=\frac13$だけである。さらに$\cos x>0$より $$\displaystyle \sin x+\cos x=\frac{t+1}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{4/3}{\sqrt{10/9}}=\frac{2\sqrt{10}}5.$$

(3) 行列の作用を列ベクトルで計算すると $$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\3t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(3-2a)t\\(1+2b)t\end{pmatrix}.$$ すべての実数$t$について像が$y=3x$上にあることは$y'=3x'$がすべての$t$で成り立つことと同値である。したがって $$(1+2b)t=3(3-2a)t\quad(\text{すべての実数 }t\text{について}) \quad\text{すなわち}\quad 1+2b=9-6a \quad\text{すなわち}\quad 3a+b=4.$$ この条件を満たせば確かに常に$y'=3x'$となるので、必要十分条件は$3a+b=4$である。

(4) $A=A^{-1}$より$A^2=I$である。$\mathbf v=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix},\quad \mathbf w=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$とおくと、条件は$A\mathbf v=\mathbf w$であり、さらに$A\mathbf w=A^2\mathbf v=\mathbf v$となる。$A=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$とおけば $$\begin{cases} p+3q=3,\\ 3p-q=1,\\ r+3s=-1,\\ 3r-s=3. \end{cases}$$ 前二式を解くと$\displaystyle p=\frac35,\ q=\frac45$、後二式を解くと$\displaystyle r=\frac45,\ s=-\frac35$である。よって $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\frac35&\frac45\\[2pt]\frac45&-\frac35\end{pmatrix}.$$ 検算すると $$\displaystyle A\mathbf v=\mathbf w,\qquad A^2=\frac1{25}\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}^2=\frac1{25}\begin{pmatrix}25&0\\0&25\end{pmatrix}=I,$$ となり、$A=A^{-1}$と与えられたベクトルの条件の両方を満たす。連立方程式の解は一意なのでこれが求める行列である。