自治医科大学 2011年数学第1問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第1問

整式 $x^{3}+ax^{2}+bx+4$ （ $a,b$ は実数）が整式 $x^{2}+x-2$ で割り切れるとき， $ab$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

割る式を因数分解し、その根を被除式に代入して係数a,bを決める。最後に積と因数分解を照合する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ナ (4)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

整式を $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+4$ とおく。割る式は $x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)$ である。 $f(x)$ がこの式で割り切れるためには、 $f(1)=f(-2)=0$ となる。 $f(1)=1+a+b+4=0 \quad\text{より}\quad a+b=-5,$ $f(-2)=-8+4a-2b+4=0 \quad\text{より}\quad 2a-b=2.$ 第2式から $b=2a-2$ なので、これを第1式に代入すると $3a-2=-5$ 、よって $a=-1$ 、 $b=-4$ である。したがって $ab=4$ 。実際、 $x^{3}-x^{2}-4x+4=(x^{2}+x-2)(x-2)$ となり、割り切れることも確かめられる。選択肢では $4$ に対応する記号はナである。

この問題で使う考え方

剰余・因数定理

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