自治医科大学 2011年数学第16問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第16問

$a$ を実数の定数とする。円 $x^{2}+y^{2}+(3a+1)x-(a+3)y-7a-10=0$ は， $a$ の値にかかわらず，常に定点を通る。その定点のなかで，座標平面上の第1象限にある点の $y$ 座標の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

パラメータaについて恒等式となる条件から定点を求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

2 (サ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

点 $(x,y)$ が円上にあるための条件は $x^2+y^2+(3a+1)x-(a+3)y-7a-10=0$ である。これを $a$ を含む項と含まない項に分けると、 $x^2+y^2+x-3y-10+a(3x-y-7)=0$ となる。これが実数 $a$ の値によらず成り立つためには、 $a$ の係数と定数部分がともに $0$ でなければならない。よって $y=3x-7$ であり、これを定数部分に代入して $x^2+(3x-7)^2+x-3(3x-7)-10=10(x-2)(x-3)=0$ を得る。したがって定点は $(2,-1),(3,2)$ であり、第1象限にあるのは $(3,2)$ 。その $y$ 座標は $2$ である。答えは $2$ （サ）。

この問題で使う考え方

円の方程式

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