II横浜市立大学 2010年 数学 第II問解答・解説

点 $P$ の原点からの距離を $r$ とする。$P\ne O$ なので $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ である。$P,Q$ は同じ半直線上にあり、$OP\cdot OQ=4$ だから、$OQ=4/r$ となる。したがって、$Q$ の座標は $$\displaystyle \left(\frac{4}{r}\frac{x}{r},\frac{4}{r}\frac{y}{r}\right)=\left(\frac{4x}{x^2+y^2},\frac{4y}{x^2+y^2}\right).$$

次に、$Q$ の座標を $(X,Y)$ とし、$s=X^2+Y^2$ とおく。$Q\ne O$ なので $s>0$ である。また、$P,Q$ を入れ替えても同じ条件を満たすため、$P$ の座標は $\displaystyle \left(\frac{4X}{s},\frac{4Y}{s}\right)$ である。これを $P$ の軌跡の式に代入すると、 $$\displaystyle \left(\frac{4X}{s}-2\right)^2+\left(\frac{4Y}{s}-3\right)^2=13$$ $$\text{すなわち} (4X-2s)^2+(4Y-3s)^2=13s^2 \text{すなわち} 16s-(16X+24Y)s=0 \text{すなわち} s(16-16X-24Y)=0.$$ ここで $s>0$ だから、これは $2X+3Y=2$ と同値である。さらに、直線 $2X+3Y=2$ 上に原点はない。したがってその直線上の任意の点 $Q$ に対し、上の式で定める $P$ は元の円上にあり、条件を満たす。よって軌跡は直線 $2X+3Y=2$ 全体である。