1近畿大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) サイコロの6面は区別できる。Aを塗る面を選べば残りがBなので、塗り方は $$\displaystyle \binom63=20$$ 通りである。A、B、Cをそれぞれ2面ずつ塗る方法は、Aの面を選び、次にBの面を選ぶと残りがCとなるから $$\displaystyle \binom62\binom42=15\cdot6=90$$ 通りである。

(2) 正六面体の回転は全部で24通りある。6面への作用を巡回の長さで分類すると次の表になる。面軸、頂点軸、辺軸はそれぞれ、対向する面の中心、頂点、辺の中点を結ぶ軸を表す。「固定される塗り方」は、回転後にも同じ色配置となる塗り方の数である。 $$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{回転型}&\text{個数}&\text{巡回長}&\text{2色固定数}&\text{3色全使用固定数}\\\hline \text{恒等}&1&1,1,1,1,1,1&2^6=64&3^6-3\cdot2^6+3=540\\ \text{面軸 }90^\circ&6&4,1,1&2^3=8&3!=6\\ \text{面軸 }180^\circ&3&2,2,1,1&2^4=16&3^4-3\cdot2^4+3=36\\ \text{頂点軸 }120^\circ&8&3,3&2^2=4&0\\ \text{辺軸 }180^\circ&6&2,2,2&2^3=8&3!=6 \end{array}$$ 同じ巡回に属する面は同じ色でなければ回転後に配置が変わる。したがって、例えば巡回が3個なら、2色では固定配置が$2^3$通り、3色をすべて使う場合は3巡回へ3色を1つずつ割り当てる6通りである。4巡回へ3色をすべて使う割り当ては、包除で$3^4-3\cdot2^4+3=36$通りとなる。

{}回転で同じになる配置を1つの組とする。配置を1つ固定し、それを別の回転配置へ移す回転の個数はどの配置先でも等しい。したがって、1つの同値類に属する配置数と、各配置を元に戻す回転数との積は24である。よって、全回転について固定配置数を足して24で割れば同値類数となる。2色では $$\displaystyle \frac{64+6\cdot8+3\cdot16+8\cdot4+6\cdot8}{24}=10$$ 通りである。このうち単色配置が2通りあるため、2色をともに使う塗り方は$10-2=8$通り。

3色をすべて使う場合は $$\displaystyle \frac{540+6\cdot6+3\cdot36+8\cdot0+6\cdot6}{24}=30$$ 通りである。

(3) 立方体の中心を原点とし、各面の中心を通る軸を座標軸にとる。正方形の底面の中心から頂点までの距離は$1/\sqrt2$である。頂点から四つの底面頂点までの距離がすべて1なので、四角錐の頂点の真下は正方形の中心であり、高さを$h$とすると $$\displaystyle h^2+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2=1^2, \qquad h=\frac1{\sqrt2}.$$ よって各頂点$O_n$は対応する面の外側へ中心から $$\displaystyle r=\frac12+h=\frac{1+\sqrt2}{2}$$ だけ離れた位置にある。6頂点は座標$(\pm r,0,0),(0,\pm r,0),(0,0,\pm r)$で表され、隣り合う頂点間の距離は$s=\sqrt2r$。したがって$P$は辺長$s$の正八面体である。

{}表面は辺長$s$の正三角形8枚からなるので、 $$\displaystyle S=8\cdot\frac{\sqrt3}{4}s^2=2\sqrt3s^2=4\sqrt3r^2 =\sqrt3(3+2\sqrt2)=3\sqrt3+2\sqrt6.$$ 体積は中心から8面へ分けた合同な四角錐の和で求める。座標から各面までの高さは$r/\sqrt3$、各面（三角形）の面積は$\sqrt3r^2/2$だから $$\displaystyle V=8\cdot\frac13\cdot\frac{\sqrt3r^2}{2}\cdot\frac{r}{\sqrt3} =\frac43r^3=\frac{7+5\sqrt2}{6}.$$ 検算として、辺長$s=\sqrt2r$を用いると正八面体を8個の合同な四面体に分けた体積と一致し、表面積も8枚の正三角形の和に一致する。