1東京慈恵会医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) 赤玉を引く確率は $2/3$、白玉を引く確率は $1/3$ であり、各回の試行は独立である。赤玉を引くたびにAの得点は1点、白玉を引くたびにBの得点は2点増えるから、Aは赤玉3回目、Bは白玉2回目に勝つ。したがって、ゲームは遅くとも4回目までに終了する。 4回の試行後も終了していないと仮定すると、赤玉は2回以下、白玉は1回以下なので、合計は3回以下となって矛盾する。

Bが2回目で勝つのは最初の2回が $WW$ のときで、確率は $(1/3)^2=1/9$ である。3回目でBが勝つには、最初の2回が $RW$ または $WR$ で、3回目が白玉であればよい。確率は $$\displaystyle 2\cdot\frac23\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac4{27}.$$ 4回目でBが勝つには、最初の3回に赤玉2回、白玉1回が出て、4回目に白玉が出ればよい。最初の3回の並びは3通りあり、どの場合も途中で勝敗は決まらない。よって確率は $$\displaystyle 3\cdot\left(\frac23\right)^2\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac4{27}.$$ この3つは終了時刻が異なる事象で重複しない。またBが勝つには2回目、3回目、4回目のいずれかで白玉2回目を引く必要があるので、以上で場合分けは尽くされる。したがって $$\displaystyle P(B\text{ が勝つ})=\frac19+\frac4{27}+\frac4{27}=\frac{11}{27}.$$

ゲームがちょうど3回目で終わるのは、最初の2回が $RR$ で3回目も赤玉となる場合、または最初の2回が $RW,WR$ のいずれかで3回目が白玉となる場合である。最初の2回が $WW$ なら2回目で既に終了し、上記以外の並びでは3回目にはどちらも3点に達しない。ゆえに $$\displaystyle P(3\text{回目で終了})=\left(\frac23\right)^3+2\cdot\frac23\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac8{27}+\frac4{27}=\frac49.$$

(2) 平面 $ABC$ 内で $A=(0,0), B=(3,0)$ とおく。$C=(u,v)$ とすると $$u^2+v^2=16,\qquad (u-3)^2+v^2=13.$$ 差をとって $6u-9=3$、よって $u=2$。したがって $v^2=12$ であり、座標軸の向きを選んで $C=(2,2\sqrt3)$ とできる。よって底面積は $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot3\cdot2\sqrt3=3\sqrt3.$$

$DH\perp ABC$ なので、三角形 $DHA,DHB,DHC$ はいずれも直角三角形である。$DA=DB=DC=3$ で共通の辺 $DH$ をもつことから $HA=HB=HC$ となり、$H$ は三角形 $ABC$ の外心である。$H=(h,k)$ とおくと、$HA=HB$ より $h=3/2$。さらに $HA=HC$ より $$\displaystyle \left(\frac32\right)^2+k^2=\left(\frac32-2\right)^2+(k-2\sqrt3)^2,$$ したがって $4\sqrt3 k=10$、よって $k=5/(2\sqrt3)$。よって $$\displaystyle HA^2=\left(\frac32\right)^2+\left(\frac5{2\sqrt3}\right)^2=\frac{13}{3}.$$ 直角三角形 $DHA$ で $DA=3$ だから $$\displaystyle DH^2=DA^2-HA^2=9-\frac{13}{3}=\frac{14}{3},\qquad DH=\sqrt{\frac{14}{3}}=\frac{\sqrt{42}}3.$$ したがって四面体の体積は $$\displaystyle V=\frac13[ABC]\,DH=\frac13\cdot3\sqrt3\cdot\frac{\sqrt{42}}3=\sqrt{14}.$$