2東京慈恵会医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(x)=xe^{-x}$ とおくと $$f'(x)=e^{-x}(1-x),\qquad f''(x)=e^{-x}(x-2).$$ $e^{-x}>0$ なので、$f'(x)>0$ は $x<1$、$f'(x)<0$ は $x>1$ である。したがって $f$ は $x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。$x=1$ で極大となり、その値は $f(1)=1/e$ である。

また、$f''(x)<0$ は $x<2$、$f''(x)>0$ は $x>2$ である。したがってグラフは $x<2$ で上に凸、$x>2$ で下に凸であり、変曲点は $(2,2/e^2)$ である。$f(0)=0$ なので原点を通る。$x=-u$（$u\to+\infty$）とおけば $f(x)=-ue^u\to-\infty$ であり、右端では問題文の極限 $\displaystyle \lim\limits _{x\to+\infty}xe^{-x}=0$ より、正の側から漸近線 $y=0$ に近づく。よって、左下から増加して原点を通り $(1,1/e)$ で最大となった後、$(2,2/e^2)$ を変曲点として右下がりに進み、最後は $y=0$ に近づく概形となる。

(2) $1\le x\le2$ では $e^{-x}>0$ だから $$\displaystyle S(a)=\int_1^2 e^{-x}|x-a|\,dx.$$ $$F_a(x)=(a-x-1)e^{-x}$$ とおけば $F_a'(x)=(x-a)e^{-x}$ である。$0<a\le1$ では $x-a\ge0$ が区間全体で成り立つので $$\displaystyle S(a)=F_a(2)-F_a(1)=\frac{2-a}{e}+\frac{a-3}{e^2}.$$ $1<a<2$ では $x=a$ で符号が変わるため、積分をそこで分けると $$\displaystyle \begin{aligned} S(a)&=F_a(1)-F_a(a)+F_a(2)-F_a(a)\\ &=2e^{-a}+\frac{a-2}{e}+\frac{a-3}{e^2}. \end{aligned}$$ $a\ge2$ では $x-a\le0$ が区間全体で成り立つので $$\displaystyle S(a)=F_a(1)-F_a(2)=\frac{a-2}{e}+\frac{3-a}{e^2}.$$ これらの式は $a=1,2$ で連続につながる。

(3) $0<a<1$ では $$\displaystyle S'(a)=-\frac1e+\frac1{e^2}<0,$$ $a>2$ では $$\displaystyle S'(a)=\frac1e-\frac1{e^2}>0.$$ $1<a<2$ では $$\displaystyle S'(a)=-2e^{-a}+\frac1e+\frac1{e^2},\qquad S''(a)=2e^{-a}>0.$$ この区間で $S'(1)=-1/e+1/e^2<0$、$S'(2)=1/e-1/e^2>0$ だから、$S'(a)=0$ となる点がただ一つある。方程式を解くと $$\displaystyle e^{-a}=\frac12\left(\frac1e+\frac1{e^2}\right)=\frac{e+1}{2e^2},\qquad a=\ln\frac{2e^2}{e+1}.$$ $e>1$ より $e<2e^2/(e+1)<e^2$ なので、この値は $1<a<2$ を満たす。$1<a<2$ の範囲ではこの点まで減少し、その後増加する。さらに $0<a<1$ では減少、$a>2$ では増加し、境界 $a=1,2$ で式も連続につながる。したがって $S(a)$ が最小となる値は $$\displaystyle a=\ln\frac{2e^2}{e+1}.$$