1神戸大学 2019年 数学 第1問解答・解説

以下では、通常の記法どおり $\log x=\ln x$ とする。

(1) 商の微分から $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}.$$ $x^2>0$ であり、$\log x<1$ は $0<x<e$、$\log x>1$ は $x>e$ と同値なので、$f$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。したがって最大値とそのときの $x$ は $$\displaystyle f(e)=\frac1e,\qquad x=e.$$

(2) 共有点の $x$ 座標を $t>0$ とする。点での関数値が等しく、接線の傾きも等しいから $$e^t=t^a,\qquad e^t=a t^{a-1}.$$ 第1式を第2式に代入し、$t^{a-1}>0$ で割ると $t=a$ を得る。これを共有点の式に戻すと $e^t=t^t$ である。自然対数をとり、$t>0$ で割れば $\log t=1$ となる。よって $$t=e,\qquad a=e,$$ これは条件 $a\ne1$ も満たす。

(3) (1)より、$x>0$ に対して $$\displaystyle \frac{\log x}{x}\le\frac1e,$$ 等号は $x=e$ のときに限る。$x>0$ を掛けて指数関数を作用させると $$x^e=\exp(e\log x)\le\exp(x)=e^x,$$ 等号となるのは $x=e$ のときだけである。設問では $x\ne t=e$ なので、求める大小は $$\boxed{e^x>x^a=x^e}.$$