5神戸大学 2019年 数学 第5問解答・解説

媒介変数表示 $x=\sin t,\ y=(1+\cos t)\sin t\ (0\le t\le\pi)$ の曲線 $C$ を考える。 解答

$x'=\cos t,\ y'=\cos t+\cos2t$ であるから、$\cos t\ne0$ のとき $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y'}{x'}=1+2\cos t-\frac1{\cos t}.$$ これを $t$ で微分し $x'=\cos t$ で割ると $$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} =-2\tan t-\frac{\sin t}{\cos^3t} =-\frac{\sin t(1+2\cos^2t)}{\cos^3t}.$$ $0<t<\pi$ では $\sin t>0$ である。よって $0<t<\pi/2$ で二階導関数は負、$\pi/2<t<\pi$ で正となる。前半は上に凸、後半は下に凸である。$t=\pi/2$ では $x'=0,\ y'=-1$ なので接線は垂直で、二階導関数の符号が変わる。

$t=0,\pi/2,\pi$ に対応する点はそれぞれ $(0,0),(1,1),(0,0)$。上側の枝は $y=x(1+\sqrt{1-x^2})$、下側の枝は $y=x(1-\sqrt{1-x^2})$（$0\le x\le1$）である。したがって原点から上側の枝で $(1,1)$ に進み、下側の枝を通って原点に戻る閉曲線となる。概形は次の通り。

上下の枝の差を積分すれば、高校範囲の面積公式から $$\displaystyle S=\int_0^1\{x(1+\sqrt{1-x^2})-x(1-\sqrt{1-x^2})\}\,dx =2\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac23.$$ また $y'=\cos t+\cos2t=(2\cos t-1)(\cos t+1)$ より、上側の最高点は $t=\pi/3$ の $(\sqrt3/2,3\sqrt3/4)$。原点での接線傾きは上側2、下側0である。