愛媛大学／2026年度／前期

愛媛大学 2026年数学第4問解答・解説

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1問題

愛媛大学2026年度第4問

次の $\square$ に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ。

(1) 曲線 $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 上の点 $P(a,b)$ における接線の傾きが 2 のとき， $a=\boxed{\text{(ア)}},\ b=\boxed{\text{(イ)}}$ である。ただし， $a>0$ とする。

(2) 時刻 $t$ における座標が $\displaystyle x=\frac{1}{2+\cos t},\qquad y=\frac{\sin t}{2+\cos t}$ で与えられる点 $P(x,y)$ の運動について，時刻 $\displaystyle t=\dfrac{\pi}{2}$ における点 $P$ の速度を $\vec{v}=(p,q)$ とすると， $p=\boxed{\text{(ウ)}},\ q=\boxed{\text{(エ)}}$ である。

(3) 原点 $O$ から出発して数直線上を動く点 $P$ がある。点 $P$ は，さいころをひとつ投げて，2 以下の目が出たら $+1$ だけ移動し，3 以上の目が出たら $-1$ だけ移動する。

(i) さいころを2回投げ終わったとき，点 $P$ が原点 $O$ にある確率は $\boxed{\text{(オ)}}$ である。

(ii) さいころを4回投げ終わったとき，点 $P$ が原点 $O$ 以外の点にある確率は $\boxed{\text{(カ)}}$ である。

(4) $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\,dx=\boxed{\text{(キ)}}$ である。

(5) $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}$ とするとき， $f'(1)=\boxed{\text{(ク)}}$ である。また， $f(x)$ は $x=\boxed{\text{(ケ)}}$ のとき最小値をとる。さらに，曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=f(\sqrt{5})$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は $\boxed{\text{(コ)}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle a=\frac{4\sqrt{3}}{3},\ b=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。(2) $\displaystyle p=q=\frac14$ 。(3)(i) $\displaystyle \frac49$ , (ii) $\displaystyle \frac{19}{27}$ 。(4) $\displaystyle \frac12\ln\left(\frac{e^2+1}{2}\right)$ 。(5) $\displaystyle f'(1)=\frac{\sqrt{2}}{32}$ 、最小値 $\displaystyle \frac13$ は $x=0$ 、回転体体積 $\displaystyle \frac\pi2$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 楕円を陰関数微分すると $\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{2y}{3}y'=0,\qquad y'=-\frac{x}{2y}.$ 傾きが2なので $a=-4b$ 。これを楕円の式に代入すると $3b^2=1$ 。 $a>0$ より $b<0$ を選び、 $\displaystyle a=\frac{4\sqrt3}{3},\qquad b=-\frac{\sqrt3}{3}.$ 代入すると楕円の左辺は $8/9+1/9=1$ 、接線傾きは $2$ で条件を満たす。

(2) 座標を時刻で微分すると $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{\sin t}{(2+\cos t)^2},\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{\cos t(2+\cos t)+\sin^2t}{(2+\cos t)^2}.$ $t=\pi/2$ では両方とも $1/4$ だから $(p,q)=(1/4,1/4)$ 。

(3) 1回ごとに $+1$ となる確率は $1/3$ 、 $-1$ となる確率は $2/3$ 。独立な移動である。

(i) 2回後に原点にいるには各方向へ1回ずつ進む。従って確率は $2(1/3)(2/3)=4/9$ 。

(ii) 4回後に原点にいるには各方向へ2回ずつ進む。確率は $\displaystyle \binom42(1/3)^2(2/3)^2=8/27$ 。従って原点以外にいる確率は $1-8/27=19/27$ 。

(4) $\displaystyle \frac{d}{dx}\log(e^{2x}+1)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}$ より $\displaystyle \int_0^1\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\,dx=\frac12\left[\log(e^{2x}+1)\right]_0^1 =\frac12\log\frac{e^2+1}{2}.$

(5) $f(x)=(9-x^2)^{-1/2}$ なので $\displaystyle f'(x)=\frac{x}{(9-x^2)^{3/2}},\qquad f'(1)=\frac{1}{8^{3/2}}=\frac{\sqrt2}{32}.$ $9-x^2$ は $x=0$ で最大だから $f$ はそこで最小値 $1/3$ をとる。

$f(\sqrt5)=1/2$ 。囲まれた部分では $1/3\le y\le1/2$ であり、水平断面は $\displaystyle y=\frac1{\sqrt{9-x^2}}\quad\text{より}\quad x^2=9-\frac1{y^2}.$ この断面は $x=0$ を含むため、回転後の断面は半径 $\sqrt{9-1/y^2}$ の円板である。よって $\displaystyle V=\pi\int_{1/3}^{1/2}\left(9-\frac1{y^2}\right)dy =\pi\left[9y+\frac1y\right]_{1/3}^{1/2}=\frac\pi2.$

この問題で使う考え方

陰関数微分
媒介変数の微分
二項確率
対数の積分
断面積の積分

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