22自治医科大学 2018年 数学 第22問解答・解説

分母は $$\displaystyle x^2-x+3=\left(x-\frac12\right)^2+\frac{11}{4}>0$$ である。分子から6倍の分母を引くと $$\begin{aligned} &x^4-2x^3-x^2+2x+34-6(x^2-x+3)\\ &\qquad=x^4-2x^3-7x^2+8x+16 =(x^2-x-4)^2 \end{aligned}$$ となる。したがって $$\displaystyle f(x)=6+\frac{(x^2-x-4)^2}{x^2-x+3}\ge6.$$ 等号は $x^2-x-4=0$ のときに成立し、その解は $$\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$$ である。このうち $\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}>0$ は条件を満たすため、下界6は実際にとられる。よって $f(x)$ の最小値は $\boxed{6}$、共通選択肢では $\boxed{\text{マ}}$ である。