25自治医科大学 2018年 数学 第25問解答・解説

$A=(t,4-t^2)$ とおくと、$-2<t<0$ である。曲線 $y=-x^2+4$ の $x=t$ における接線の傾きは $-2t$ なので、法線 $\ell$ の傾きは $1/(2t)$ である。よって $$\displaystyle \ell:\quad y-(4-t^2)=\frac{1}{2t}(x-t).$$ $y=0$ として交点 $P$ の $x$ 座標を求めると $$-2t(4-t^2)=x_P-t,\qquad x_P=2t^3-7t.$$ $u=-t$ とおけば $0<u<2$ であり、 $$OP=|x_P|=|7u-2u^3|.$$ ここで $h(u)=7u-2u^3$ とする。$0<u<\sqrt{7/2}$ では $h(u)>0$ であり、 $$h'(u)=7-6u^2$$ だから、$u=\sqrt{7/6}$ でこの区間の最大値をとる。その値は $$\displaystyle h\!\left(\sqrt{\frac76}\right) =7\sqrt{\frac76}-2\left(\frac76\right)\sqrt{\frac76} =\frac{14}{3}\sqrt{\frac76}.$$ 一方、$\sqrt{7/2}<u<2$ では $$OP=-h(u)=2u^3-7u.$$ この式の導関数は $6u^2-7>0$ であり、$u\to2-$ で $2u^3-7u\to2$ となるから、この区間では常に $OP<2$。また $$\displaystyle \left(\frac{14}{3}\sqrt{\frac76}\right)^2=\frac{686}{27}>4$$ なので、全区間での最大値は $$\displaystyle M=\frac{14}{3}\sqrt{\frac76}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{9}{\sqrt{42}}M =\frac{9}{\sqrt{42}}\cdot\frac{14}{3}\sqrt{\frac76} =\sqrt{42}\sqrt{\frac76}=7.$$ 答えは $7$（選択肢ヤ）である。