1自治医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

割る式は $$x^2-2bx+b^2=(x-b)^2$$ である。次のように展開すると $$\begin{aligned} x^4-4x+a ={}&(x^2-2bx+b^2)(x^2+2bx+3b^2)\\ &+4(b^3-1)x+(a-3b^4). \end{aligned}$$ 右辺第2行は割り切れない場合の余りであり、次数が1以下である。割り切れる条件はこの余りが恒等的に0となることだから $$b^3=1,\qquad a=3b^4.$$ $b$ は実数なので $b^3=1$ から $b=1$、よって $a=3$。したがって $$a+b=3+1=4$$ （共通選択肢はナ）。

検算：$b=1,a=3$ のとき、割る式は $(x-1)^2$ であり、被除式は $$x^4-4x+3=(x-1)^2(x^2+2x+3)$$ と因数分解できるので、確かに割り切れる。