8自治医科大学 2018年 数学 第8問解答・解説

左辺は $$x^2+7xy+12y^2+x+3y=(x+3y)(x+4y+1)$$ と因数分解できる。ここで $$u=x+3y,\qquad v=x+4y+1$$ とおけば、条件は $uv=9$ となる。また $$y=v-u-1,\qquad x=4u-3v+3$$ なので、整数の組 $(u,v)$ から整数の組 $(x,y)$ がただ1つ定まる。逆も定義から成り立つため、対応は一対一である。

$uv=9$ を満たす順序付き整数の組は $$(u,v)=(1,9),(3,3),(9,1),(-1,-9),(-3,-3),(-9,-1)$$ の6組である。対応する $(x,y)$ は順に $$(-20,7),\ (6,-1),\ (36,-9),\ (26,-9),\ (0,-1),\ (-30,7)$$ となる。したがって、条件を満たす整数の組 $(x,y)$ は $$6$$ 組（共通選択肢はマ）である。

検算：各組は $u=x+3y$、$v=x+4y+1$ に戻すと上記の因数対になり、いずれも $uv=9$ を満たす。すべての整数因数対を列挙したので、これ以外の組はない。