5自治医科大学 2018年 数学 第5問解答・解説

$s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおくと、$\displaystyle s+c=\frac12$ かつ $s^2+c^2=1$ である。したがって $$\displaystyle sc=\frac{(s+c)^2-(s^2+c^2)}{2} =\frac{\frac14-1}{2} =-\frac38.$$ また、和の立方の公式から $$\displaystyle s^3+c^3=(s+c)^3-3sc(s+c) =\frac18-3\left(-\frac38\right)\frac12 =\frac{11}{16}.$$ よって求める値は $$\displaystyle \begin{aligned} 2s^3+2c^3-3sc+\frac12 &=2\cdot\frac{11}{16}-3\left(-\frac38\right)+\frac12\\ &=\frac{11}{8}+\frac98+\frac48 =3. \end{aligned}$$ したがって答えは $\boxed{3}$、共通選択肢では $\boxed{\text{タ}}$ である。