19自治医科大学 2018年 数学 第19問解答・解説

4回の出目 $a,b,c,d$ はそれぞれ $1$ から $6$ までであり、全事象は順序を区別して $6^4=1296$ 通りある。

$t=c+d$、$s=a+b$ とおくと、求める条件は $s+2t\leq10$ である。$s\geq2$ より $t\leq4$、また $t\geq2$ なので、$t=2,3,4$ の場合だけを調べればよい。2個のさいころの和が $2,3,4,5,6$ となる順序つきの組の個数は、それぞれ $1,2,3,4,5$ である。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} t=c+d & (c,d)\text{の個数} & s=a+b\text{の条件} & (a,b)\text{の個数} & \text{該当する出方} \\ \hline 2 & 1 & s\leq6 & 1+2+3+4+5=15 & 15 \\ 3 & 2 & s\leq4 & 1+2+3=6 & 12 \\ 4 & 3 & s\leq2 & 1 & 3 \end{array}$$ したがって、条件を満たす出方は $15+12+3=30$ 通りである。よって $$\displaystyle p=\frac{30}{6^4}=\frac{30}{1296}=\frac{5}{216},\qquad 216p=5.$$ 検算として、$c+d\geq5$ ならば $a+b+2c+2d\geq2+10=12>10$ となるため、上の $t=2,3,4$ の場合分けで全ての有利な出方を数え尽くしている。答えは選択肢ハである。