24自治医科大学 2018年 数学 第24問解答・解説

曲線上の点 $P(a,b)$ について $$b=a^3-2a^2+a=a(1-a)^2.$$ $a>0$ なので、線分 $OP$ の直線の式は $\displaystyle y=\frac ba x=(1-a)^2x$ である。$0\le x\le a<1$ では $$\displaystyle x(1-x)^2-\frac ba x =x\bigl((1-x)^2-(1-a)^2\bigr) =x(a-x)(2-a-x)\ge0,$$ したがって曲線は線分より上にあり、 $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_0^a\left\{x^3-2x^2+x-(1-a)^2x\right\}\,dx\\ &=\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4} =\frac{a^3(4-3a)}{12}. \end{aligned}$$ また、線分 $OP$ の長さは $$L=\sqrt{a^2+b^2} =a\sqrt{1+(1-a)^4}$$ である。よって $$\displaystyle \frac{48\sqrt2\,S}{L^3} =\frac{4\sqrt2(4-3a)}{\{1+(1-a)^4\}^{3/2}}.$$ ここで $a\to0^+$ とすると $$\displaystyle \lim\limits _{a\to0^+}\frac{48\sqrt2\,S}{L^3} =\frac{16\sqrt2}{2^{3/2}} =8.$$ したがって答えは $\boxed{8}$、共通選択肢では $\boxed{\text{ラ}}$ である。