13自治医科大学 2018年 数学 第13問解答・解説

$h=2\sqrt3-6$ とおく。求めるのは $y-x$ の最大値である。制約から $$\displaystyle y^2\le48-(x-12)^2,\qquad y^2\le\frac{25-(x-5)^2}{2}.$$

まず $x\le6$ とする。円の不等式から $x\ge12-4\sqrt3$ なので $$x+h\ge6-2\sqrt3>0.$$ また $$(x+h)^2-\{48-(x-12)^2\} =(x-6)(2x+4\sqrt3-24)\ge0,$$ なぜなら $x-6\le0$ であり、$2x+4\sqrt3-24\le4\sqrt3-12<0$ だからである。よって $(x+h)^2\ge y^2$。$x+h>0$ より $y\le x+h$、したがって $y-x\le h$ となる。

次に $x\ge6$ とする。このとき $x+h\ge2\sqrt3>0$ であり、 $$\displaystyle (x+h)^2-\frac{25-(x-5)^2}{2} =(x-6)\left(\frac32x+4\sqrt3-8\right)\ge0,$$ 右辺は $x-6\ge0$、$\displaystyle \frac32x+4\sqrt3-8\ge1+4\sqrt3>0$ による。再び制約から $(x+h)^2\ge y^2$ となるので、$y\le x+h$、すなわち $y-x\le h$ である。

したがって、すべての許される $(x,y)$ について $y-x\le h$。一方、$(x,y)=(6,2\sqrt3)$ では $$(6-5)^2+2(2\sqrt3)^2=25,\qquad (6-12)^2+(2\sqrt3)^2=48,$$ となって二つの制約を満たし、$y-x=2\sqrt3-6=h$ である。よって $$\displaystyle M=2\sqrt3-6,\qquad \frac{(M+6)^2}{3}=\frac{(2\sqrt3)^2}{3}=4.$$ 答えは $\boxed{4}$、共通選択肢では $\boxed{\text{ナ}}$ である。