2自治医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

$29^x=49$ より、底が $29>1$ で右辺が $1$ より大きいので $x>0$ である。また $$1421=29\cdot49=29\cdot29^x=29^{x+1}, \qquad 2401=49^2=(29^x)^2=29^{2x}.$$ したがって $1421^y=2401$ は $$29^{(x+1)y}=29^{2x}$$ と書ける。底 $29>1$ の指数関数は単調増加なので $$(x+1)y=2x$$ を得る。この関係から $y=2x/(x+1)>0$ でもあり、$xy\ne0$ である。

求める値は $$\displaystyle \frac{2x-y}{xy}=\frac{2}{y}-\frac{1}{x}.$$ 先ほどの関係を $xy$ で割ると $$\displaystyle \frac{2}{y}=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$$ だから $$\displaystyle \frac{2x-y}{xy}=1+\frac1x-\frac1x=1.$$ 共通選択肢では $\boxed{\text{カ}}$ に当たる。