4久留米大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) 和の中身を整理すると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k\{n-(k-1)\}=\sum\limits _{k=1}^{n}k(n-k+1) =(n+1)\sum\limits _{k=1}^{n}k-\sum\limits _{k=1}^{n}k^2.$$ $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k=n(n+1)/2$、$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^2=n(n+1)(2n+1)/6$ より $$\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)(n+2)}6.$$

(2) $b_1=0$ と差分条件から $$\displaystyle b_n=\sum\limits _{j=1}^{n-1}a_j=\frac16\sum\limits _{j=1}^{n-1}j(j+1)(j+2) =\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{24}.$$ ここでは $j(j+1)(j+2)=j^3+3j^2+2j$ と展開し、自然数の和、平方和、立方和を用いた。

次に $$\displaystyle \frac1{a_n}=\frac{6}{n(n+1)(n+2)} =3\left\{\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}\right\}.$$ よって差分を $j=1$ から $n-1$ まで足し合わせると途中の項が消え、 $$\displaystyle c_n=\sum\limits _{j=1}^{n-1}\frac1{a_j} =3\left\{\frac1{1\cdot2}-\frac1{n(n+1)}\right\} =\frac32-\frac{3}{n(n+1)}.$$ いずれも $n=1$ で初期条件と一致する。