3久留米大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) 平方完成すると、円の中心は $\displaystyle \left(-k,-\frac{k+2}{2}\right)$、半径の2乗は $$\displaystyle r^2=k^2+\frac{(k+2)^2}{4}+\frac{k}{4}+\frac14 =\frac54(k^2+k+1) =\frac54\left\{\left(k+\frac12\right)^2+\frac34\right\}.$$ 従って $r^2$ は $\displaystyle k=-\frac12$ のとき最小となり、その値は $15/16$。半径は正なので、最小半径は $\sqrt{15}/4$ である。

(2) 中心を $(X,Y)$ とすると $X=-k,\ Y=-(k+2)/2$ であり、$k$ を消去して $$\displaystyle Y=\frac{X}{2}-1.$$ したがって中心は常に直線 $y=x/2-1$ 上にある。

(3) 円の式を $k$ を含む項と含まない項に分けると $$\displaystyle \left(x^2+y^2+2y-\frac14\right)+k\left(2x+y-\frac14\right)=0.$$ すべての $k$ について通る点では、定数項と $k$ の係数がともに0となるから $$\displaystyle y=\frac14-2x,\qquad x^2+y^2+2y-\frac14=0.$$ 前者を後者に代入して整理すると $$\displaystyle 5x^2-5x+\frac5{16}=0,\qquad x^2-x+\frac1{16}=0.$$ これを解くと $$\displaystyle x=\frac12\pm\frac{\sqrt3}{4}=\frac{2\pm\sqrt3}{4}.$$ 大小の順に並べれば、求める $x$ 座標は $\displaystyle \frac{2-\sqrt3}{4},\frac{2+\sqrt3}{4}$ である。