6久留米大学 2019年 数学 第6問解答・解説

直線と曲線の差を $$f(x)=(e-2)x+2-e^x$$ とおく。$f''(x)=-e^x<0$ で、$f(0)=1,\ f(1)=0$ だから、$0\le x\le1$ では直線が曲線以上にある。従って図形 $D$ はこの区間で直線と曲線に挟まれた部分である。

(1) 面積は $$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx =\frac{e-2}{2}+2-(e-1) =2-\frac e2.$$

(2) $y$ 軸に垂直な平面で切った断面を考える。 $1\le y\le2$ では $0\le x\le\log y$ なので、断面は半径 $\log y$ の円盤である。 $2\le y\le e$ では $(y-2)/(e-2)\le x\le\log y$ なので、断面は外半径 $\log y$、内半径 $(y-2)/(e-2)$ の円環である。 したがって体積は $$\displaystyle V=\pi\int_1^e(\log y)^2\,dy -\pi\int_2^e\left(\frac{y-2}{e-2}\right)^2\,dy.$$ 部分積分を2回用いると $$\displaystyle \int_1^e(\log y)^2\,dy =\left[y\{(\log y)^2-2\log y+2\}\right]_1^e=e-2.$$ また $$\displaystyle \int_2^e\left(\frac{y-2}{e-2}\right)^2\,dy =\left[\frac{(y-2)^3}{3(e-2)^2}\right]_2^e=\frac{e-2}{3}.$$ よって $$\displaystyle V=\pi\left(e-2-\frac{e-2}{3}\right)=\frac{2\pi(e-2)}3.$$