久留米大学 2019年数学第2問解答・解説

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1問題

久留米大学2019年度第2問

大小2個の立方体のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出る目の数を $a$ ，小さいさいころの出る目の数を $b$ とする。このとき， $x$ の2次方程式 $x^{2}-ax+b=0$ ……①が実数解をもつ確率は $\boxed{\text{③}}$ である。また，方程式①が実数解をもつとき，その解が重解である条件付き確率は $\boxed{\text{④}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \boxed{\text{③}=\frac{19}{36}},\qquad \boxed{\text{④}=\frac{2}{19}}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

大小のさいころの出目の組 $(a,b)$ は $6\cdot6=36$ 通りで、すべて同様に確からしい。方程式 $x^2-ax+b=0$ が実数解をもつ条件は判別式が0以上、すなわち $a^2-4b\ge0$ である。 $\begin{array}{c|rrrrrr|r} a&1&2&3&4&5&6&\text{計}\\ \hline \text{条件を満たす }b&0&1&2&4&6&6&19 \end{array}$ ここで各列の値は、出目 $b=1,2,3,4,5,6$ のうち $b\le a^2/4$ を満たす個数である。したがって実数解をもつ確率は $19/36$ 。

重解となるには判別式が0、すなわち $a^2=4b$ が必要である。さいころの範囲内で該当する組は $(a,b)=(2,1),(4,4)$ の2通りである。この事象は実数解をもつ19通りの中の2通りなので、求める条件付き確率は $\displaystyle \frac{2}{19}.$

この問題で使う考え方

二次方程式の判別式
和の法則
確率の基本法則

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