東邦大学 2018年数学第5問解答・解説

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1問題

東邦大学2018年度第5問

$n$ を5以上の自然数とし、 $n$ 進法で $M$ と表された数を $M_{(n)}$ と表す。このとき、 $\displaystyle \sum\limits _{n=5}^{10} 104_{(n)}$ は10進法で $\boxed{\text{ケコサ}}$ と表すことができる。また、 $\displaystyle \sum\limits _{n=5}^{10} \frac{1_{(n)}}{401_{(n)} - 104_{(n)}}$ は10進法で $\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソタ}}}$ と表すことができる。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

位取り記数法で各整数を10進法へ直し、分母を因数分解して部分分数の和を整理する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \sum\limits _{n=5}^{10}104_{(n)}=379,\quad\sum\limits _{n=5}^{10}\frac{1_{(n)}}{401_{(n)}-104_{(n)}}=\frac{19}{440}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$104_{(n)}=n^2+4$ であるから $\displaystyle \sum\limits _{n=5}^{10}104_{(n)}=(25+36+49+64+81+100)+6\cdot4=355+24=379.$ また、 $401_{(n)}=4n^2+1$ 、 $1_{(n)}=1$ より $\displaystyle \frac{1_{(n)}}{401_{(n)}-104_{(n)}}=\frac{1}{3n^2-3}=\frac{1}{3(n-1)(n+1)}=\frac16\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right).$ したがって、和は $\displaystyle \frac16\left(\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19-\frac16-\frac17-\frac18-\frac19-\frac1{10}-\frac1{11}\right) =\frac16\left(\frac14+\frac15-\frac1{10}-\frac1{11}\right).$ 括弧内は $\displaystyle \frac{55+44-22-20}{220}=\frac{57}{220}$ なので、和は $\displaystyle \frac16\cdot\frac{57}{220}=\frac{57}{1320}=\frac{19}{440}.$ よって、ケコサ=379、シス=19、セソタ=440。

この問題で使う考え方

二進法・位取り記数法
総和記号と数列の和
階差・和の利用

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